Ciekawe pytanie.

Najprościej, to analogia do problemu 2000 (pamiętacie jeszcze, jaka była panika, ;) tylko, że dla systemów Linux, które zliczają czas za pomocą unixowego timestampu (czas liczony jest od tak zwanej 'ery unixa' tj.: 1 styczeń 1970 godzina 00:00 UTC).

Zmienna która przechowuje czas jest 32bitowa i może przyjmować max wartość: 2 147 483 647 sekund, co daje dokładnie date: 03:14:07 UTC, 19 stycznia 2038.

Więcej tutaj:

https://en.wikipedia.org/wiki/Year_2038_problem

Prezentacja problemu w formie GIF:

https://en.wikipedia.org/wiki/Year_2038_problem#/media/File:Year_2038_problem.gif